A note on the two-sided regulated random walk

In this paper we address the two-sided regulated random walk defined by the relation XN(t + 1)= min(N,max(0,XN(t)+ A(t+1))) where (A(t); t 1) is a sequence of i.i.d r.v’s with integer values such that A(t) −1,E{A} = 0 and E{rA}<+∞ for an r > 1. Denoting by πN its stationary distribution, FN(x)= πN([0,Nx]) and G(x) the d.f of a uniform r.v on [0,1]. It is shown that 0 < limN‖FN −G‖p limN‖FN −G‖p <+∞ for 1 p +∞, that is: 1/N is the exact convergence rate of FN to G. This result improves (in the particular case considered) earlier results claiming that limN ‖FN −G‖∞ = 0.  2003 Elsevier SAS. All rights reserved. Résumé Cet article considère la marche aléatoire doublement régulée, définie par la relation de récurrence XN(t + 1) = min(N,max(0,XN(t) + A(t + 1))) où (A(t); t 1) est une suite de v.a entières i.i.d vérifiant A(t) −1,E{A} = 0 et E{rA}<+∞ pour un r > 1. Notant πN sa distribution stationnaire, FN(x) = πN([0,Nx]) et G(x) la f.r d’une v.a uniforme sur [0,1], nous montrons que 0 < limN‖FN −G‖p limN‖FN −G‖p <+∞ pour tout p tel que 1 p +∞. C’est à dire que 1/N est le taux exact de convergence de FN vers G. Ce résultat améliore (dans le cas particulier considéré) un résultat antérieur affirmant que limN ‖FN −G‖∞ = 0.  2003 Elsevier SAS. All rights reserved. MSC: primary 60J10, 60K25; secondary 60F25, 60F99